Первоначально, создавая общую теорию относительности, Эйнштейн полагал, что свет как и материальные частицы движется вдоль геодезических линий. (см. Эйнштейн, "Формальные основы общей теории относительности", 1914 г, собр. соч. т.1 стр. 342.) . Однако Леви-Чивита, Вейль, Палатини и Де-Зуани показали, что принцип геодезических и принцип Ферма дают одинаковое решение для статических метрик, а в общем случае это далеко не очевидно (Паули В. Теория Относительности — М.: Наука, Издание 3-е, исправленное.)
Но в ту пору общековариантность недавно полученных преобразований Лоренца, форминвариантность с точностью до магнитного монополя уравнений Максвелла вызвали большой энтузиазм и породили идеологию, согласно которой ковариантность, форминвариантность должны быть основными свойствами любой теории, описывающей физические поля. Так, Паули пишет в § 65, что «с физической точки зрения отнюдь не является само собой разумеющимся, что законы природы должны выводиться из вариационного принципа. Гораздо более естественно выводить законы природы из чисто физических требований, как было сделано в теории Эйнштейна (см. § 56)» и в указанном параграфе «Основная и важнейшая задача общей теории относительности — установление законов для самого G-поля. От этих законов нужно, конечно, требовать, чтобы они
были общековариантны.» Здесь принцип Ферма проигрывает принципу геодезических.
Однако не полное соответствие результатов, получаемых с помощью этих двух принципов, очевидно стало причиной того, что Эйнштейн исключил принцип изотропных геодезических из своих последующих публикаций по теории относительности. В дальнейшем, он просто указывал, что принцип геодезических соответствует движению материальной частицы (см., например, Сущность теории относительности, 1953).
У принципа Ферма есть существенный недостаток. Он сформулирован только для метрик с независящими от времени коэффициентами.
J.O. Weatherall пишет в статье «О статусе геодезического принципа в ньютоновской и релятивистской физике», arXiv:1106.2332, «Итак, какой статус геодезического принципа в каждой теории? …Я думаю, что дать однозначный ответ на этот вопрос было бы ошибкой. Я полагаю, что в обеих теориях принцип геодезических может пониматься как теорема. Возможно также рассматривать его в некоторых контекстах как постулат. В действительности, я думаю, что выделять несколько основных принципов теории как главные и принижать значение других ошибочно для понимания физических теорий в общем. Лучшим для получения этого результата будет признать, что физические теории основываются на объединении взаимозависимых принципов.»
Уравнения геодезической линии материальной частицы находятся вариацией времени-подобного интервала. Однако вариация изотропного пути приводит к нарушению его изотропности, что не соответствует принципам вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы. С другой стороны, вариация времени, используемая в принципе Ферма, в случае нестационарной метрики пространства-времени также кажется не обоснованной, так как получается, что время варьируется по времени. Очевидно, что варьируемая функция должна отличаться от составляющих ее переменных.
В статье В. Б. Беляева "Применение механики Лагранжа для анализа движения свето-подобной частицы в псевдо-римановом пространстве" ArXiv:0911.0614 предложен принцип стационарного интеграла энергии, позволяющий определить уравнения движения фотона. Этот вариационный метод тождественен в этом частном случае принципу Ферма и распространяется на нестационарные метрики. В статье В. П. Фролова "Обобщенный принцип Ферма и действие для световых лучей в искривленном пространстве-времени" ArXxiv:1307.3291 интервал времени рассматривается как варьируемый функционал в общем случае и получаются уравнения, чье решение совпадает с геодезической линией. В статье Применение механики Лагранжа для анализа движения свето-подобной частицы в псевдо-римановом пространстве показано, что эти уравнения эквивалентны уравнениям принципа стационарного интеграла энергии. Поэтому соответствие изотропных геодезических вариационным принципам механики можно считать доказанным.
были общековариантны.» Здесь принцип Ферма проигрывает принципу геодезических.
Однако не полное соответствие результатов, получаемых с помощью этих двух принципов, очевидно стало причиной того, что Эйнштейн исключил принцип изотропных геодезических из своих последующих публикаций по теории относительности. В дальнейшем, он просто указывал, что принцип геодезических соответствует движению материальной частицы (см., например, Сущность теории относительности, 1953).
У принципа Ферма есть существенный недостаток. Он сформулирован только для метрик с независящими от времени коэффициентами.
J.O. Weatherall пишет в статье «О статусе геодезического принципа в ньютоновской и релятивистской физике», arXiv:1106.2332, «Итак, какой статус геодезического принципа в каждой теории? …Я думаю, что дать однозначный ответ на этот вопрос было бы ошибкой. Я полагаю, что в обеих теориях принцип геодезических может пониматься как теорема. Возможно также рассматривать его в некоторых контекстах как постулат. В действительности, я думаю, что выделять несколько основных принципов теории как главные и принижать значение других ошибочно для понимания физических теорий в общем. Лучшим для получения этого результата будет признать, что физические теории основываются на объединении взаимозависимых принципов.»
Уравнения геодезической линии материальной частицы находятся вариацией времени-подобного интервала. Однако вариация изотропного пути приводит к нарушению его изотропности, что не соответствует принципам вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы. С другой стороны, вариация времени, используемая в принципе Ферма, в случае нестационарной метрики пространства-времени также кажется не обоснованной, так как получается, что время варьируется по времени. Очевидно, что варьируемая функция должна отличаться от составляющих ее переменных.
В статье В. Б. Беляева "Применение механики Лагранжа для анализа движения свето-подобной частицы в псевдо-римановом пространстве" ArXiv:0911.0614 предложен принцип стационарного интеграла энергии, позволяющий определить уравнения движения фотона. Этот вариационный метод тождественен в этом частном случае принципу Ферма и распространяется на нестационарные метрики. В статье В. П. Фролова "Обобщенный принцип Ферма и действие для световых лучей в искривленном пространстве-времени" ArXxiv:1307.3291 интервал времени рассматривается как варьируемый функционал в общем случае и получаются уравнения, чье решение совпадает с геодезической линией. В статье Применение механики Лагранжа для анализа движения свето-подобной частицы в псевдо-римановом пространстве показано, что эти уравнения эквивалентны уравнениям принципа стационарного интеграла энергии. Поэтому соответствие изотропных геодезических вариационным принципам механики можно считать доказанным.
